Abstract

A finals del segle XVIII, Gauss va considerar l´aplicació $F(x,y)=((x+y)/2,(xy)^(1/2))$ i va demostrar que les seves iteracions, quan es considera una condició inicial $x=u,\; y=v$, convergeixen a un valor anomenat la mitjana aritmético-geomètrica d´$u$ i $v$, $M(u,v)$. Tambe va veure que $M(u,v)$ es pot expressar com una integral el.líptica. En aquest seminari demostrarem aquest resultat i altres similars, quan es prenen altres funcions $F$ d´un tipus semblant. La prova que donarem està basada en l´article de Carlson (AMM 78, 1971, pp 496-505). Finalment veurem com a partir de la successió considerada per Gauss, a 1976, Brent i Salamin van proposar independentment un algorisme per a calcular pi amb convergència quadràtica. Aquest algorisme ha estat usat per Kanada a 1999 per a calcular-lo amb mes de 200.000 mil.lions de xifres decimals