Abstract

El objetivo del trabajo es clasificar todos los campos cuadráticos que poseen una integral primera polinomial y proporcionar una expresión explícita de las mismas, un problema abierto ya clásico pese a la multitud de trabajos realizados sobre los campos cuadráticos. Para abordar la resolución del problema, hemos utilizado una clasificación que permite escribir los campos cuadráticos en 10 formas canónicas. Las seis primeras formas canónicas tienen como característica común que su primera componente no depende de $y$ y además los sistemas con integral primera polinomial son equivalentes a una ecuación diferencial lineal y poseen, por tanto, una integral primera del tipo $yF(x)+G(x)$. La resolución del problema conlleva entonces un análisis de la compatibilidad de $F$ y $G$ con la existencia de integral primera polinomial. La aplicación de ese teorema de compatibilidad (que es especialmente delicada en dos de las formas canónicas, en las que $G$ ha de expresarse en términos de funciones hipergeométricas) nos permite resolver el problema para esos casos. Por la naturaleza de las cuatro últimas formas canónicas, deben emplearse para ellas técnicas completamente diferentes. La estrategia utilizada ha sido una descomposición de la posible integral primera polinomial de grado $n$ de modo que su cálculo equivale a obtener $n$ polinomios que deben ser determinados a través de ecuaciones diferenciales recurrentes. Si bien un tratamiento de este tipo permite obtener de una manera sencilla los sistemas que poseen integral primera polinomial en la forma vii), en cambio eso no es así en los demás casos, en los que las ecuaciones recurrentes tienen una gran complejidad. Las condiciones necesarias obtenidas a través de estas ecuaciones combinadas con la existencia de un factor integrante o un inverso de factor integrante polinomial han permitido resolver los casos viii) y ix), por lo que el único caso que resta por resolver es el que corresponde a la décima forma canónica.