Combinatorial Dynamics of Strip Patterns of Quasiperiodic Skew Products in the Cylinder [ Back ]

Date:
26.05.16   
Times:
12:00
Place:
Sala de Graus Facultat de Ciències
Speaker:
Leopoldo Morales
University:
Universitat Autònoma de Barcelona

Abstract

El teorema de Sharkovskii, para el intervalo, establece que la existencia de órbitas periódicas, de un determinado periodo, en una aplicación del intervalo ``fuerza'' la existencia de órbitas periódicas de otros periodos. Un refinamiento de este teorema es lo lo que conocemos como teoría del forcing de órbitas periódicas en el intervalo. Podemos asociar a una órbita periódica una permutación que llamamos pattern de la órbita. Diremos que un pattern $\tau$ fuerza otro pattern $\nu$ si toda función del intervalo que tiene una órbita periódica con pattern $\tau$ tiene también una órbita periódica con pattern $\nu.$ La teoría del forcing en el intervalo prueba que la anterior relación es una relación de orden parcial y describe con exactitud el conjunto de patterns forzados por un pattern prefijado. En el año 2005 Roberta Fabbri, Tobias Jäger, Russel Johnson y Gerhard Keller (A Sharkovskiu{i}-type Theorem for Minimally Forced Interval Maps ), extendieron el Teorema de Sharkovskii a las funciones skew product forzadas quasiperiódicamente en el cilindro. En este contexto, ellos consideran conjuntos invariantes que no son órbitas periódicas de puntos. Ni tan solo objetos minimales. Consideran bandas periódicas. Nuestro primer objetivo es extender la teoría del forcing para patterns de bandas periódicas. Demostraremos que la relación de forcing en el intervalo y en nuestra clase coinciden. Por otro lado, el teorema de Sharkovskii para bandas periódicas remite de manera natural a la siguiente pregunta: ¿Es cierto el teorema de Sharkovskii para curvas periódicas? y más generalmente: ¿Es cierto que todo skew product forzado cuasiperiódicamente tiene una curva invariante? La segunda parte de la charla está dedicada a dar una respuesta negativa a ambas cuestiones. Concretamente, construiremos un skew-product forzado cuasiperiódicamente que tiene una curva $2$-periódica y no tiene una curva invariante.

This is the PhD Defense of Leopoldo Morales